仮面浪人24日目 良い解き方と悪い解き方

仮面浪人24日目です。

すいません，今実家に帰省していましてちょっと受験勉強できる状況ではなく...

後一週間以内には東京の方に戻るのでそこからは毎日更新に戻ります。

そんなことを言いながらもまた数学の重要問題集で東工大の問題を解いて自分の解法の未熟さに呆れた話をします。

解いた問題は2015　東工大数学の極限の問題です。以下ネタバレ

数列 anをa₁=5 an₊₁=(4an-9)/(an-2),  bn=(1a₁+2a₂+・・・+nan)/(1+2+・・・n)

とする

(1) anの一般校を求めよ

(2)全てのnに対して，bn≤3+[4/(n+1)]が成り立つことを示せ

(3)lim(n→∞)bnを求めよ

という問題です。

(1)はよくある分数漸化式の問題ですがところどころやり方忘れていてちょっと焦りました笑

で，問題の(2)

bnの分母はn(n+1)/2とすぐわかるのですが，最終的に不等式を求めさせるという事は恐らく分子を値で求めることは不可能と当たりをつけて計算してみると，

(bnの分子)=n+3n(n+1)/2+Σ(k=1→n)1/(2k-1)

となり整理するとシグマは1≤k≤nで

bn=3+[ 2n+Σ 2/( 2k-1 ) ]/ n(n+1)

より，4/(n+1)と　[ 2n+Σ 2/( 2k-1 ) ]/ n(n+1)　の大きさを比べればよいことが分かります。

4/(n+1) - [ 2n + Σ 2/(2k-1) ] / n(n+1)

={2/n(n+1)} { n - Σ 1/(2k-1) }

とまとめられnとΣ1/(2k-1)の大小関係がカギになります。

しかし…

よく考えてみると，1×n=nで1/(2k-1)<1 よりΣ 1/(2k-1) がnより小さくなることなんか当たり前なんですが ，数学的センスの無さから単調減少(増加)関数の不等式を作る時にありがちな面積比較しか思いつけず...

一応，Σも∫も1からnで

　Σ 1/(2k-1) ＜1 + ∫dx/(2x-1) =log[e-√(2n-1)]

n-log[e-√(2n-1)]

=log(e^n)-log[e√(2n-1)]

ここで

e^n-e√(2n-1)

=e(e^(n-1)-√(2n-1))

となり明らかに

e^(n-1)>√(2n-1)

であり，以上より

Σ1/(2k-1) <n

であるから，色々あって題意の不等式が導かれた

的な超遠回りの解き方をしてしまいました。。。

これももしかしたら本番解けてないかもなぁと不安になってしまう問題です。

これも思考力というよりかは問題を解くことに必死になってしまって式自体の観察を怠ってしまった結果ですね。。。

はあ。